Bilangan Irasional

Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa diubah kedalam bentuk pecahan biasa ab, dan apabila kita mencoba untuk merubahnya ke dalam bentuk pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti, dan juga tidak memiliki pola tertentu. Salah satu contoh dari bilangan irasional yang paling populer adalah atau biasa kita sebut bilangan phi. Beberapa contoh bilangan irasional lainnya adalah seperti berikut ini:

Contoh:

√2 =1,4121356… atau √3=1,7320508…

Kita bisa melihat dari contoh diatas, bahwa kedua bilangan tersebut bila diubah ke bentuk desimal, tidak akan memiliki ujung, dan juga memiliki tidak pola tertentu. Namun tidak semua bilangan akar merupakan bilangan irasional, contohnya √4 atau √9 yang hasilnya adalah 2 dan juga 3. Satu lagi contoh bilangan irasional yang harus kamu ketahui adalah bilangan eksponensial (e), yang merupakan sebuah konstanta dengan nilai 2.7182818..

Contoh Soal Bilangan Rasional dan Irasional

Tentukan jenis bilangan berikut, manakah yang merupakan bilangan rasional atau irasional.

• 

• 

• 

• 

Jawaban

= Adalah bilangan rasional, karena bila 5 dibagi dengan 9 memiliki hasil 0,555555… sesuai dengan ciri-ciri bilangan rasional, yaitu memiliki pola.

= Bilangan Rasional, ini karena akar dari 64 adalah 8, sebuah bilangan bulat yang merupakan bagian dari bilangan rasional

= Bilangan irasional, karena 𝝅 yang berjumlah 3,142857… dibagi dengan 2 memiliki hasil 1,57142… tidak memiliki pola apapun, sehingga memenuhi ciri-ciri bilangan irasional.

= Bilangan irasional, karena 16 dibagi 8 sama dengan 2, hasil dari √2 adalah 1,14213… tidak memiliki pola sehingga cocok menjadi bilangan irasional.

Kesimpulan

Itu dia pengertian sekaligus perbedaan dari bilangan rasional dan irasional, sekaligus contoh soalnya. Keduanya merupakan bagian dari bilangan riil namun memiliki perbedaan yang cukup signifikan.

Bilangan irasional

 

Pengertian Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b 0.

Bilangan rasional dapat disebut juga sebagai bilangan bilangan. Dalam bilangan rasional berbentuk a/b, bilangan bilangan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional.

Bagaimana jika nilai b = 0?

Jika suatu bilangan atau rasional memiliki penyebut 0, seperti 1/0; 2/0; 10/0; dan lainnya, maka bilangan atau rasional tersebut tidak terdefinisi.

Bilangan rasional juga dapat diklasifikasikan kembali menjadi bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, dan kelompok bilangan lainnya menjadi bagian dari bilangan rasional

Contoh Bilangan RasionalBeberapa contoh bilangan rasional seperti 1/2, 2/3, 5/7, 12/7 dan lainnya.

Dalam bilangan rasional juga terdapat beberapa operasi sederhana seperti penjumlahan,pengurangan, perkalian, pembagian, dan operasi bilangan lainnya.

Beberapa operasi bilangan tersebut dituliskan seperti di bawah ini.

a/b + c/d = (iklan + bc)/bd

a/b – c/d = (iklan – bc)/bd

a/bxc/d = ac/bd

a/b : c/d = iklan/bc

-(a/b) = -a/b = a/(-b)

(a/b) -1 = b/a dengan a 0.

Berikut ini merupakan penjelasan dari bilangan irasional.

Pengertian Bilangan irasional

apakah kalian mendengar mengenai bilangan irasional?

Dalam bilangan real, bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b.

Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.

Beberapa contoh bilangan dalam bentuk akar dan bentuk bilangan lainnya (misalnya konstanta) merupakan contoh dari bilangan irasional.

Contoh Bilangan Irasional

Bisakah kalian menyebutkan beberapa contoh bilangan irasional? Bilangan seperti apakah yang termasuk dalam bilangan irasional.Beberapa contoh bilangan rasional dalam bentuk akar maupun konstanta dijelaskan dalam contoh berikut ini.

Beberapa contoh bilangan irasional yaitu bilangan 2, , dan e .

Mengapa bilangan 2 merupakan bilangan irasional?

Jika dihitung dengan bantuan hitung, nilai dari 2 yaitu 1,414213562373095048801688724… yang mana angka desimal tersebut tidak berulang dan jumlah angka di belakang desimal (koma).

Namun, tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Misalnya 4 dan 9. Nilai dari 4 dan 9 yaitu 2 dan 3 yang merupakan bilangan bulat.

Bilangan . Bilangan = 3,14 atau = 22/7 penggunaannya belum tepat karena nilai yang sebenarnya yaitu 3,141592653589793… .

Penggunaan nilai sama dengan 3,14 atau 22/7 merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional.

Bilangan rasional

 

Pengertian Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b 0.

Bilangan rasional dapat disebut juga sebagai bilangan bilangan. Dalam bilangan rasional berbentuk a/b, bilangan bilangan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional.

Bagaimana jika nilai b = 0?

Jika suatu bilangan atau rasional memiliki penyebut 0, seperti 1/0; 2/0; 10/0; dan lainnya, maka bilangan atau rasional tersebut tidak terdefinisi.

Bilangan rasional juga dapat diklasifikasikan kembali menjadi bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, dan kelompok bilangan lainnya menjadi bagian dari bilangan rasional. 

Contoh Bilangan RasionalBeberapa contoh bilangan rasional seperti 1/2, 2/3, 5/7, 12/7 dan lainnya.

Dalam bilangan rasional juga terdapat beberapa operasi sederhana seperti penjumlahan,pengurangan, perkalian, pembagian, dan operasi bilangan lainnya.

Beberapa operasi bilangan tersebut dituliskan seperti di bawah ini.

a/b + c/d = (iklan + bc)/bd

a/b – c/d = (iklan – bc)/bd

a/bxc/d = ac/bd

a/b : c/d = iklan/bc

-(a/b) = -a/b = a/(-b)

(a/b) -1 = b/a dengan a 0.

Berikut ini merupakan penjelasan dari bilangan irasional.

Pengertian Bilangan irasional

apakah kalian mendengar mengenai bilangan irasional?

Dalam bilangan real, bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b.

Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.

Beberapa contoh bilangan dalam bentuk akar dan bentuk bilangan lainnya (misalnya konstanta) merupakan contoh dari bilangan irasional.

Berikut akan dijelaskan mengenai contoh bilangan irasional.

Contoh Bilangan Irasional

Bisakah kalian menyebutkan beberapa contoh bilangan irasional? Bilangan seperti apakah yang termasuk dalam bilangan irasional.Beberapa contoh bilangan rasional dalam bentuk akar maupun konstanta dijelaskan dalam contoh berikut ini.

Beberapa contoh bilangan irasional yaitu bilangan 2, , dan e .

Mengapa bilangan 2 merupakan bilangan irasional?

Jika dihitung dengan bantuan hitung, nilai dari 2 yaitu 1,414213562373095048801688724… yang mana angka desimal tersebut tidak berulang dan jumlah angka di belakang desimal (koma).

Namun, tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Misalnya 4 dan 9. Nilai dari 4 dan 9 yaitu 2 dan 3 yang merupakan bilangan bulat.

Bilangan . Bilangan = 3,14 atau = 22/7 penggunaannya belum tepat karena nilai yang sebenarnya yaitu 3,141592653589793… .

Penggunaan nilai sama dengan 3,14 atau 22/7 merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional.

Persamaan dan pertindaksamaan

 Persamaan dan Pertidaksamaan Linier biasanya akan mulai kita pelajari saat kita berada di bangku kelas 10. Tepatnya bab 2 dari pelajaran matematika kelas 10.

Dan kali ini kita berkesempatan untuk membahas materi mengenai Persamaan dan Pertidaksamaan Linier. Informasi selengkapnya simak baik-baik ulasan di bawah ini ya.

Namun sebelum itu, untuk memudahkan pemahaman materi ini, akan kami berikan ilustrasi kegiatan sehari-hari yang berkaitan dengan materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier.

Persamaan linear

Persamaan linear merupakan suatu persamaan di mana pangkat variabelnya yaitu satu.

Adapun bentuk umum dari persamaan linear, seperti:

ax + b = c, a ≠ 0, a,b,c E R

Dari uraian cerita di atas, untuk meencari nilainya, maka kita perlu membuat “pembelian martabak telur” tadi menjadi sebuah persamaan linear.

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menganggap jumlah martabak telur sama dengan “x”. Sebab dalam cerita di atas, Gilang harus menghabiskan uang 40 ribu untuk membeli “jumlah martabak telur yang belum diketahui”. Dengan harga satu bungkus martabak telur seharga 8 ribu, sehingga, kita buat kalimat matematikanya menjadi:

8000x = 40000

Jika sudah begini jadi gampang deh. Kemudian:

x = 40000/8000

x = 5 bungkus

Itu tadi merupakan salah satu contoh paling sederhana dari persamaan linear. Sudah tau kan apa itu persamaan linear?

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan linear merupakan persamaan yang mengandung variabel berpangkat satu. Persamaan ini disebut juga sebagai persamaan berderajat satu  atau persamaan linear satu variabel.

Dengan bentuk umumnya yaitu: ax + b = c, a ≠ 0, a, b, c, E R

Adapun sifat dari persamaan linear, antara lain:

Sifat Persamaan Linear

1. Suatu persamaan tidak berubah nilainya apabila ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.
2. Suatu persamaan tidak berubah nilainya apabila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Paham kan maksud dari sifat persamaan linear di atas?

Untuk memudahkan pemahaman kalian, coba kita pakai contoh dari persamaan martabak telur tadi ya.

8000x = 40000

Persamaan tersebut, tidak akan berubah jika kita ganti menjadi, sebagai contoh:

i) 8000x + 2000 = 40000 + 2000

ii) 8000x – 2000 = 40000 – 2000

Dalam persamaan linear, penjumlahan dan juga pengurangan angka di kedua ruas tidak akan mempengaruhi atau mengubah persamaan itu sendiri.

Yang berarti, persamaan martabak telur awal Gilang bernilai sama dengan persamaan i serta persamaan ii.

Hal tersebut juga berlaku jika nantinya kita ganti menjadi, sebagai contoh;

a) 8000x X 5 = 40000 X 5

b) 8000x : 5 = 40000 : 5

Persamaan awal dari martabak telur Rogu pun sejatinya sama dengan persamaan a dan juga b. Inilah yang dimaksud sebagai sifat-sifat persamaan linear.

Sama halnya dengan para pemuda lainnya, sebelum Gilang membeli martabak telur langganannya, Gilang kemudian berkeliling sebentar.

Atau istilah kerennya sih kita sebut dengan ngabuburit.

Di tengah perjalanannya, Gilang menjumpai sebuah papan rambu lalu lintas yang baru di dekat rumahnya. 

Pertidaksamaan Linear

Taukah kamu apa itu pertidak samaan linear? Pertidaksamaan merupakan suatu kalimat terbuka yang memakai tanda <, >, <, >.

Seperti persamaan linear, dalam pertidaksamaan linear juga memiliki beberapa sifat, diantaranya yaitu:

Sifat Pertidaksamaan Linear

1. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.
2. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Jika kalian perhatikan baik-baik, sifat-sifat pertidaksamaan ini sama dengan yang ada pada sifat persamaan linear.

Lantas, apa yang menjadi perbedaan persamaan linear dengan pertidaksamaan linear?

Selain pada pemakaian “tanda, perbedaannya juga terdapat pada waktu saat pengali ataupun pembagian bilangan yang negatif”.

Dalam persamaan linear, jika kedua ruas kita kali atau bagi ke dalam bilangan negatif, maka “tanda”-nya akan tetap sama dengan (=).

Hal tersebut berbeda halnya dengan yang ada pada pertidaksamaan linear.

Dalam pertidaksamaan linear, jika terdapat kasus di mana kedua ruas dikali atau bagi dengan bilangan negatif (-), maka tanda yang sebelumnya akan berubah menjadi tanda sebaliknya.

Sebagai contoh:

-3x + 2 < 20

= -3x < 18

= 3x > -18 (perhatikan pada bagian ini. Tanda < berubah menjadi > pada waktu kedua ruas dikali dengan negatif (-))

= x > -6

Nilai mutlak

Nilai mutlak atau modulus merupakan nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (-). Misalnya, nilai mutlak dari 4 sama dengan nilai mutlak dari -4 yaitu 2 atau secara umum dapat ditulis dengan |4| = |-4| = 4. Secara umum, nilai mutlak memiliki sifat-sifat sebagai berikut; 

Persamaan Nilai Mutlak 

Baca Juga: Rumus Pythagoras Beserta Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Persamaan nilai mutlak sendiri ditandai dengan menggunakan tanda sama dengan (=). BBiasanya sebuah soal persamaan nilai mutlak akan meminta kita untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut menggunakan aljabar dan sifat-sifat yang ada pada nilai mutlak. 

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Di dalam artikel ini, akan membahas lebih lanjut mengenai pertidaksamaan mutlak. Dilansir dari rumuspintar, pertidaksamaan ditandai dengan tanda kurang dari (<), kurang dari atau sama dengan (≤), lebih dari (>), atau lebih dari atau sama dengan (≥).  Sama halnya dengan persamaan nilai mutlak, sebuah soal pertidaksamaan nilai mutlak biasanya meminta kita untuk mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.

Namun perlu digaris bawahi bahwa dalam penghitungan sebuah pertidaksamaan kita harus lebih berhati-hati dan tidak boleh asal membagi kedua ruas seperti saat mengerjakan soal persamaan, karena tanda dari pembagi (plus atau minus) dapat membuat tanda dari sebuah pertidaksamaan menjadi kebalikannya.

SPLDV

 ang saling berhubungan. Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat terttinggi sama dengan satu. Sehingga sistem persamaan linear dua variabel dapat dipahami sebagai himpunan persamaan dengan dua variabel. Di mana, variabel merupakan nilai yang dapat berubah-ubah yang biasanya disimbolkan dalam huruf kecil. Penyebutan nama sistem persamaan linear dua variabel sering disingkat dengan SPLDV.Sebuah persamaan linear memiliki komponen yang meliputi variabel, koefisien, dan konstanta. Koefisien dan variabel terletak berdampingan dengan letak koefisien di depan variabel. Konstanta pada persamaan linear adalah bilangan yang tidak diikuti oleh variabel.

Bentuk Persamaan Linear

Persamaan linear dua variabel memiliki karakteristik memiliki sebagai persamaan dengan pangkat tertinggi dari semua variabel dalam persamaan adalah satu. Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.

• Contoh bukan SPLDV:
  2x2 + 5x = 14
  1/x + 1/y = 2

• Contoh SPLDV:
  2x + 5y = 14
  3a + 4b =24
  q + r = 3

• Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):
  ax + by = c
  dx + ey = f
  Hasil penyelesaian SPLDV dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y)

  Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

  Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV adalah sebagai berikut.

  1. Substitusi
  2. Eliminasi
  3. Gabungan
  4. Grafik

  Metode Substitusi

  1. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.

     Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

     • Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d [TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah]
     • Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya
     • Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y
     • Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui. Penyelesaiannya adalah (x, y)

     Penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode substitusi:

     Langkah 1: mengubah  satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d
     Mengubah persamaan (ii) ke dalam bentuk y = ax + b
     3x + y = 5 → y = 5 ‒ 3xLangkah 2: substitusi y = 5 ‒ 3x pada persamaan 2x + 3y = 8

     2x + 3(5 ‒ 3x) = 8

     Langkah 3: selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai x
     2x + 3(5 ‒ 3x) = 8
     2x + 15 ‒ 9x = 8
     ‒7x = ‒7
     x = 1

     Langkah 4: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, hasilnya akan sama)
     2x + 3y = 8
     2(1) + 3y = 8
     3y = 8 ‒ 2
     3y = 6 → y = 2

  Metode Eliminasi

  1. Cara kedua untuk menyelesaikan SPLDV adalah menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, dalam metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya.

     Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

     • Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
     • Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
     • Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
     • Penyelesaiannya adalah (x, y)

     Penyelesaian permasalahan dengan metode eliminasi diberikan seperti langkah-langkah di bawah.

     Langkah 1: menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.

  Metode Grafik

  1. Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear. Sebelumnya, sobat idschool perlu belajar mengenai cara menggambar garis pada persamaan linear terlebih dahulu.

     Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

     • Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius
     • Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut
     • Penyelesaiannya adalah (x, y).

     Berikut ini penyelesaian SPLDV dengan metode grafik.Selanjutnya, substitusi nilai y = 7 pada persamaan x = 5y ‒ 37 untuk mendapatkan nilai x.

     x = 5y ‒ 37
     x = 5×7 ‒ 37
     = 35 ‒ 37
     = ‒2

     Jadi, nilai 6x + 4y = 6×(‒2) + 4×7 = ‒12 + 28 = 16

     Jawaban: C

  Contoh 2 – Soal Sistem Persamaan Linear

  1. Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah ….
     A. Rp135.000,00
     B. Rp115.000,00
     C. Rp110.000,00
     D. Rp100.000,00

     Pembahasan:

     Misalkan:

     • Tarif parkir per mobil = x
     • Tarif parkir per motor = y

     Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.

     3x + 5y = 17.000
     4x + 2y = 18.000

     Kalikan persamaan pertama dengan 4 (empat) dan persamaan kedua dengan 3 (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangiBerdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai y = 1.000

     Substitusi nilai y = 1.000 pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya 3x + 5y =17.000 (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).

     3x + 5y = 17.000
     3x + 5(1.000) = 17.000
     x = (17.000 ‒ 5.000) : 3
     x = 12.000 : 3 = 4.000

     Hasil yang diperoleh adalah

     • Uang parkir mobil = x = Rp.4.000,00
     • Uang parkir motor = y = Rp.1.000,00

     Jadi, uang yang diperoleh untuk 20 mobil dan 30 motor adalah
     = 20 x Rp4.000,00 + 30 x Rp1.000,00
     = Rp80.000,00 + Rp30.000,00 = Rp110.000,00

     Jawaban: C

     Demikianlah tadi ulasan materi sistem persamaan linear dua variabel atau yang sering disingkat sebagai SPLDV. Meliputi penyelesaian SPLDV dengan metode substitusi, eliminasi, gabungan (eliminasi-substitusi), dan grafik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!