Identitas Trigonometri

Dwi Aini

X IPS 2 ABSEN 7

Rumus atau kesamaan identitas trigonometri adalah rumus yang menyatakan hubungan antara satu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang lainnya. Misalnya fungsi ${\sec }^{2}x$ setara dengan satu ditambah fungsi ${\tan }^{2}x$ atau dapat dituliskan ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$.

Berikut ini ditampilkan beberapa kesamaan fungsi trigonometri yang penting dan sering dipakai dalam menyelesaikan masalah terkait fungsi trigonometri.

Identitas Ganjil-Genap

Berikut ini diberikan rumus untuk identitas ganjil-genap dalam trigonometri beserta dengan contoh dan pembahasannya.

Contoh 1:

Identitas Kofungsi

Rumus identitas kofungsi merupakan salah satu identitas dalam trigonometri yang cukup penting. Identitas ini menunjukan hubungan antara fungsi trigonometri yang didasarkan pada sudut komplementer, yakni dua sudut bersebelahan yang jumlah keduanya tepat 90 derajat.

Contoh 2:

Identitas Pythagoras

Rumus identitas Pythagoras ini sering muncul dalam soal trigonometri. Sesuai namanya, rumus identitas ini diperoleh dari teorema Pythagoras. Berikut ini adalah tiga kesamaan untuk identitas pythagoras.

Contoh 3:

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri berikut adalah benar.

Pembahasan:

Untuk pembuktian, kita akan menyederhanakan bentuk pada ruas kiri persamaan sehingga menjadi sama dengan ruas kanan persamaan tersebut. Perhatikan bahwa ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$, sehingga kita peroleh

Contoh 4:

Misalkan diketahui

Nilai $\cos A+\sin A=...$

Identitas Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Berikut ini adalah rumus untuk identitas jumlah dan selisih dua sudut dalam trigonometri.

Contoh 5:

Jika diketahui $\tan 5^0=p$. Tentukanlah nilai $\tan {50}^0$.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $\tan {50}^0=\tan ({45}^0+5^0)$, sehingga dengan menggunakan identitas jumlah dua sudut untuk fungsi tangen, maka kita peroleh

Contoh 6:

Buktikan bahwa

Pembahasan:

Untuk pembuktian, kita mengambil persamaan pada ruas kiri dan disederhanakan sehingga menjadi sama dengan persamaan ruas kanan.

Contoh 7:

Sederhanakanlah bentuk persamaan berikut:

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

Untuk bentuk $\cos 2x$ dapat kita ubah menjadi

Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 8:

Misalkan diketahui $\tan \alpha =\frac{2}{3}$. Jika sudut $\alpha$ adalah sudut lancip maka tentukan nilai $\tan 2\alpha$.

Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas sudut rangkap untuk fungsi tangen, maka kita peroleh

Identitas Setengah Sudut

Berikut ini adalah rumus untuk identitas setengah sudut beserta contoh soal dan pembahasan.

Contoh 9:

Diketahui $\sin 2A=p$. Tentukan nilai $\cos A$.

Pembahasan:

Karena $\sin 2A=p$, maka kita peroleh

Dengan menggunakan identitas setengah sudut untuk fungsi cosinus, maka diperoleh

Contoh 9:

Diketahui $\sin 2A=p$. Tentukan nilai $\cos A$.

Pembahasan:

Karena $\sin 2A=p$, maka kita peroleh

Dengan menggunakan identitas setengah sudut untuk fungsi cosinus, maka diperoleh

Contoh 9:

Diketahui $\sin 2A=p$. Tentukan nilai $\cos A$.

Pembahasan:

Karena $\sin 2A=p$, maka kita peroleh

Dengan menggunakan identitas setengah sudut untuk fungsi cosinus, maka diperoleh

Contoh 9:

Diketahui $\sin 2A=p$. Tentukan nilai $\cos A$.

Pembahasan:

Karena $\sin 2A=p$, maka kita peroleh

Dengan menggunakan identitas setengah sudut untuk fungsi cosinus, maka diperoleh

SPLDV

 

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat terttinggi sama dengan satu. Sehingga sistem persamaan linear dua variabel dapat dipahami sebagai himpunan persamaan dengan dua variabel. Di mana, variabel merupakan nilai yang dapat berubah-ubah yang biasanya disimbolkan dalam huruf kecil. Penyebutan nama sistem persamaan linear dua variabel sering disingkat dengan SPLDV.

Sebuah persamaan linear memiliki komponen yang meliputi variabel, koefisien, dan konstanta. Koefisien dan variabel terletak berdampingan dengan letak koefisien di depan variabel. Konstanta pada persamaan linear adalah bilangan yang tidak diikuti oleh variabel.

Bentuk Persamaan LinearPersamaan linear dua variabel memiliki karakteristik memiliki sebagai persamaan dengan pangkat tertinggi dari semua variabel dalam persamaan adalah satu. Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.

• Contoh bukan SPLDV:
  2x2 + 5x = 14
  1/x + 1/y = 2

• Contoh SPLDV:
  2x + 5y = 14
  3a + 4b =24
  q + r = 3

• Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):
  ax + by = c
  dx + ey = f
  Hasil penyelesaian SPLDV dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y)

  Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua VariabelTerdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV adalah sebagai berikut.

  1. Substitusi
  2. Eliminasi
  3. Gabungan
  4. Grafik

  Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mengetahui proses pengerjaan SPLDV dengan berbagai metode. Untuk mengetahui perbedaan setiap metode, akan disajikan dalam pengerjaan sebuah soal dengan keempat metode tersebut.

  Permasalahan dalam SPLDV yang akan diselesaikan adalah dua bersamaan berikut.
  (i) 2x + 3y = 8
  (ii) 3x + y = 5

SPLK

Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$.
Contoh:

• $x = 2y-1\ \rightarrow x=f(y)=2y+1$
• $y = 3x+1\ \rightarrow y=f(x) = 3x+1$
• $y=x^{2}+5x+6\ \rightarrow y=f(x)=x^{2}+5x+6$
• $x=y^{2}+2y+1\ \rightarrow x=f(y)=y^{2}+2y+1$

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x, y)$
Contoh:

• $x^{2}+y^{2}-25=0$
• $x^{2}+y^{2}-6x+8y+10=0$
• $x^{2}+2xy+y^{2} 8y+10=0$

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
$\begin{align}
y\ & = mx+n\ \cdots \text{bagian linear} \\
y\ & =ax^{2}+bx+c\ \cdots \text{bagian kuadrat}
\end{align}$
dimana $m,n,a,b,c$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.

Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{align}
y & = y \\
ax^{2}+bx+c & = mx+n \\
ax^{2}+(b-m)x+c-n & = 0
\end{align}$

Persamaan kuadrat $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $ax^{2}+(b-m)x+c-n = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:

• Jika $D \gt 0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
• Jika $D = 0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
• Jika $D \lt 0$ maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

  Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:

  $\begin{align}
  y\ & =px^{2}+qx+r,\ p \neq 0\ \text{parabola} \\
  y\ & =ax^{2}+bx+c,\ a \neq 0\ \text{parabola}
  \end{align}$
  dimana $p,q,r,a,b,c$ adalah bilangan real dan $p,a \neq 0$.
  
  Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
  $\begin{align}
  y & = y \\
  ax^{2}+bx+c & = px^{2}+qx+r \\
  (a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r & = 0
  \end{align}$
  
  Jika $a-p \neq 0$ maka diperolah persamaan kuadrat $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_{1}$ dan $y_{2}$.
  Himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ \left(x_{1},y_{1} \right),\ \left(x_{2},y_{2} \right) \right\}$.
  
  Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $(a-p)x^{2}+(b-q)x+c-r = 0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
  • Jika $D \gt 0$ maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
  • Jika $D = 0$ maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
  • Jika $D \lt 0$ maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Kontekstual

 Pembelajaran Kontekstual (Contextual Teaching and Learning/CTL) merupakan suatu proses pendidikan yang bertujuan memotivasi siswa untuk memahami makna materi pelajaran yang dipelajarinya dengan mengkaitkan materi tersebut dengan konteks kehidupan mereka sehari-hari (konteks pribadi, sosial, dan kultural) sehingga siswa memiliki pengetahuan/keterampilan yang secara fleksibel da-pat diterapkan (ditransfer) dari satu permasalahan /konteks ke permasalahan/ konteks lainnya.

Dalam Pembelajaran CTL, guru menghadirkan situasi dunia nyata ke dalam kelas dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat. Dengan konsep ini, hasil pembelajaran diharapkan lebih bermakna bagi siswa. Proses pembelajaran berlangsung lebih alamiah dalam bentuk kegiatan siswa bekerja dan mengalami, bukan transfer pengetahuan dari guru ke siswa.

Dalam kelas kontekstual, tugas guru adalah membantu siswa mencapai tujuannya. Guru lebih banyak berurusan dengan strategi daripada memberi informasi. Tugas guru mengelola kelas sebagai sebuah tim yang bekerja ber-sama untuk menemukan sesuatu yang baru bagi anggota kelas (siswa). Sesu-atu yang baru datang dari menemukan sendiri bukan dari apa kata guru. Begitulah peran guru di kelas yang dikelola dengan pendekatan kontekstual.Teminabuan(18/11), Kepala LPMP Papua Barat diwakili oleh Kepala seksi Supervisi dan Fasilitasi Peningkatan mutu Pendidikan, Yustus Awoitauw, dalam acara pembukaan Bimtek Kurikulum Kontekstual Papua Barat Tahun 2019, menyampaikan bahwa Kurikulum kontekstual bertujuan untuk menciptakan media dan model pembelajaran yang berangkat dari akar budaya masyarakat setempat. Dengan demikian diharapkan Bapak/ibu guru peserta dapat mengembangkan dan mendesiminasikan kreatifitas pengembangan Kurikulum kontekstual di tempat tugas masing-masing.

Bimtek Kurikulum Kontekstual Papua Barat Tahun 2019 diikuti oleh 72 peserta yang berasal dari Kabupaten Sorong, Sorong Selatan, Maybrat, Tambrauw dan Raja Ampat. Kegiatan ini berlangsung 2 (dua) hari yaitu dari tanggal 18 s.d 19 November 2019.Dalam Acara Penutupan Kegiatan, Kepala LPMP Papua Barat turut hadir dalam memberikan beberapa arahan sekaligus menutup secara resmi kegiatan Bimtek Kurikulum Kontekstual Papua Barat Tahun 2019 (19/11), menyampaikan bahwa percepatan pembangunan menuntut manusia untuk bergerak dinamis, siap menghadapi segala bentuk perubahan. Di bidang pendidikan, Kurikulum yang sedang berlaku selalu menuntut pengembangan agar dapat disesuaikan dengan perkembangan pola pikir peserta didik. Pengembangan Kurikulum ke arah kontekstual menjaga bentuk perubahan agar selalu menitikberatkan pada akar budaya dan lingkungan masyarakat setempat. Kepala LPMP juga mengingatkan setiap peserta untuk mempersiapkan diri melakukan pendampingan di tempat tugasnya masing-masing. (Bram)